已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列（n∈N*）．（1）求a的值及数列{an}的通项公式；（2）若bn=-（an+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且2ⁿ⁺¹，S_n，a成等差数列（n∈N^*）．
（1）求a的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=-（a_n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且2ⁿ⁺¹，S_n，a成等差数列（n∈N^*），
∴2S_n=2ⁿ⁺¹+a，
当n=1时，2a₁=4+a，∴a₁=2+(a)/(2)，
当n=2时，2a₁+2a₂=8+a，∴a₂=2，
当n=3时，2a₁+2a₂+2a₃=16+a，∴a₃=4，
∵{a_n}是等比数列，
∴a1a3=a22，即(2+(a)/(2))×4=22，
解得a=-2，
∴a₁=2+(-2)/(2)=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1．
（2）b_n=-（a_n+1）a_n=-（-2n+1）•2ⁿ⁺¹=（2n-1）•2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=1•2⁰+3•2+5•2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1，①
2T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2（2+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+(4(1-2n-1))/(1-2)-(2n-1)•2n
=3•2ⁿ-2n•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．