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如图,△ABO中,O是坐标原点,A,B.(1)①以原点O为位似中心,将△ABO放大,使变换后得到的△CDO与△ABO的位似比为2:1,且D在第一象限内,则C点坐标为(
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如图,△ABO中,O是坐标原点,A
,B
.
(1)①以原点O为位似中心,将△ABO放大,使变换后得到的△CDO与△ABO的位似比为2:1,且D在第一象限内,则C点坐标为(______
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/eac4b74543a98226b5899e978f82b9014a90eb32.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9922720e0cf3d7cac77d8ac6f71fbe096a63a9f3.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d833c895d143ad4bb666f37087025aafa40f0631.jpg)
(1)①以原点O为位似中心,将△ABO放大,使变换后得到的△CDO与△ABO的位似比为2:1,且D在第一象限内,则C点坐标为(______
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▼优质解答
答案和解析
(1)①首先根据点D的位置确定△COD的位置,然后根据位似比作图,即可得到点C、D的坐标;
②可过E作y轴的垂线,设垂足为F,由于△ODE是由△ODC翻折而得,故OE=OC=2
,∠EOD=∠COD=30°,根据这些条件,即可在Rt△OEF中,通过解直角三角形求出点E的坐标.
(2)在(1)题中,已经求得了E、C的坐标,利用待定系数法求解即可.
(3)四边形MEOC中,△OEC的面积是定值,若四边形的面积最大,则△EMC的面积最大;过M作MN∥y轴,交直线CE于N,设出点M的横坐标,根据抛物线和直线CE的解析式即可得到MN的长,以MN为底,C、E横坐标差的绝对值为高,即可得到△EMC的面积表达式,进而可得到关于四边形MEOC的面积和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可得到四边形的面积最大值,及对应的M点坐标.
【解析】
(1)①由题意知:OC=2OA=2
,
CD=2AB=2;
故C(2
,0),D(2
,2);
②如图,过E作EF⊥y轴于F;
Rt△OCD中,OC=2
,CD=2,则有:
∠DOC=30°;
根据折叠的性质知:
OE=OC=2
,∠EOD=∠DOC=30°;
在Rt△OEF中,OE=2
,∠FOE=30°,
则:FE=
,OF=3,
故E(
,3).
(2)由于抛物线经过E(
,3),C(2
,0),依题意有:
,
解得
,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2
x;![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/622762d0f703918f095b887a543d269758eec4fc.jpg)
(3)过M作MN∥y轴,交CE于N;
∵E(
,3),C(2
,0),
∴直线EC:y=-
x+6;
设M(x,-x2+2
x),则N(x,-
x+6),
∴MN=-x2+2
x-(-
x+6)=-x2+3
x-6;
∴四边形EMCO的面积S=S△EMC+S△EOC
=
×(-x2+3
x-6)×
+
×2
×3
=-
x2+
x=-
(x-
)2+
;
∴当x=
,即M(
,
)时,四边形OEMC的面积最大,且最大值为
.
②可过E作y轴的垂线,设垂足为F,由于△ODE是由△ODC翻折而得,故OE=OC=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da9773912306e30d1fd198618367ae232.jpg)
(2)在(1)题中,已经求得了E、C的坐标,利用待定系数法求解即可.
(3)四边形MEOC中,△OEC的面积是定值,若四边形的面积最大,则△EMC的面积最大;过M作MN∥y轴,交直线CE于N,设出点M的横坐标,根据抛物线和直线CE的解析式即可得到MN的长,以MN为底,C、E横坐标差的绝对值为高,即可得到△EMC的面积表达式,进而可得到关于四边形MEOC的面积和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可得到四边形的面积最大值,及对应的M点坐标.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/30adcbef76094b365c19ae5da6cc7cd98c109df3.jpg)
(1)①由题意知:OC=2OA=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7aec54e736d12f2e448e1bd04ac2d562843568f3.jpg)
CD=2AB=2;
故C(2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cf1b9d16fdfaaf51f869340f895494eef11f7af3.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8cb1cb1349540923c1e3d6ce9758d109b2de49f3.jpg)
②如图,过E作EF⊥y轴于F;
Rt△OCD中,OC=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6d81800a19d8bc3e9982b37a878ba61ea9d345f3.jpg)
∠DOC=30°;
根据折叠的性质知:
OE=OC=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/838ba61ea8d3fd1f6f83178a354e251f94ca5ff3.jpg)
在Rt△OEF中,OE=2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/55e736d12f2eb9386525cf42d0628535e5dd6f32.jpg)
则:FE=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cf1b9d16fdfaaf51f8a8340f895494eef01f7a32.jpg)
故E(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f11f3a292df5e0fe8a533cb1596034a85edf7232.jpg)
(2)由于抛物线经过E(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a50f4bfbfbedab646cf8f870f236afc378311ef3.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cdbf6c81800a19d89b4831b536fa828ba61e4632.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/241f95cad1c8a786fc61ffbe6209c93d70cf5032.jpg)
解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c2cec3fdfc0392459efe54bf8294a4c27d1e2532.jpg)
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a5c27d1ed21b0ef454a32deed8c451da81cb3e32.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/622762d0f703918f095b887a543d269758eec4fc.jpg)
(3)过M作MN∥y轴,交CE于N;
∵E(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/503d269759ee3d6dfa4c327b46166d224e4adefc.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6c224f4a20a44623bf4010d29d22720e0df3d7fc.jpg)
∴直线EC:y=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4bed2e738bd4b31c0a77210b82d6277f9e2ff833.jpg)
设M(x,-x2+2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d62a6059252dd42ae583b41b063b5bb5c8eab8fc.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/562c11dfa9ec8a13c651e250f203918fa0ecc033.jpg)
∴MN=-x2+2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b90e7bec54e736d1d39939b89e504fc2d46269fc.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df3d7ca7bcb0a464c693e896e63f6246b60af33.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b58f8c5494eef01f2a91ad75e5fe9925bd317dfc.jpg)
∴四边形EMCO的面积S=S△EMC+S△EOC
=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e1fe9925bc315c602210de5f88b1cb13485477fc.jpg)
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/94cad1c8a786c9174986e789cc3d70cf3ac757fc.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b90e7bec54e736d1d35839b89e504fc2d5626933.jpg)
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=-
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∴当x=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dcc451da81cb39dbe38ad2e6d5160924ab183033.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac4bd11373f0820230d8248f4efbfbedab641b33.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b55b319ebc4b7453bde02a6cafc1e178a821533.jpg)
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