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已知动圆过定点（1,0），且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和,①当时，求证直线恒过一定点
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| 已知动圆  过定点（1,0），且与直线 相切.（1）求动圆圆心 的轨迹方程；（2）设  是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ,①当 时，求证直线 恒过一定点 ；②若  为定值 ，直线 是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. |
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答案和解析
| 已知动圆  过定点（1,0），且与直线 相切.（1）求动圆圆心 的轨迹方程；（2）设  是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ,①当 时，求证直线 恒过一定点 ；②若  为定值 ，直线 是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. |
| （1）  ；（2）①参考解析，② |
| 试题分析：（1）根据题意可假设抛物线方程为  ，由抛物线的定义可求得 的值，从而可求得抛物线的方程.（2）根据题意假设直线AB的方程，联立抛物线的方程，消去y得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理得到A,B两点坐标的等式.①由直线的垂直可得到A,B坐标的一个等式，从而可化简直线AB的方程即可得到结论.②当 为一个一般的定值时，需要分类讨论，解决问题的方法类似于①小题，同样是通过A,B的斜率关系得到一个等式，从而得到结论.试题解析：(1)设动圆圆心M(x,y), 依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线其方程为 .(2)设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ).由题意得x 1 ≠x 2 (否则  )且x 1 x 2 ≠0,则 所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b, 则将y=kx+b与y 2 =4x联立消去x,得ky 2 －4y+4b=0 由韦达定理得  -------※①当  = 时, 所以 ,所以y 1 y 2 =16,又由※知:y 1 y 2 = 所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(－4,0).②当 为定值 时.若 = ,由①知,直线AB恒过定点M(－4,0)当  时,由 ,得 = = 将※式代入上式整理化简可得:  ,所以 ,此时,直线AB的方程可表示为y=kx+ ,所以直线AB恒过定点 所以当 时,直线AB恒过定点(－4,0).,当 时直线AB恒过定点 |
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