有一边长为a，密度为ρ的立方体大理石，工人用一根粗细均匀的单位长度重为P牛的铁棒将石块撬起一个很小的角度．如图所示，如果插入的长度为石块边长的四分之一，并保持该长度不

Question

有一边长为a，密度为ρ的立方体大理石，工人用一根粗细均匀的单位长度重为P牛的铁棒将石块撬起一个很小的角度．如图所示，如果插入的长度为石块边长的四分之一，并保持该长度不变，则当选用的铁棒多长时，向上施加的力最小？此最小的力多大？

Answer 1

由题意可知，物体的重力为G=mg=ρa ³ g；
设铁棒长为L，动力为F．由题可知铁棒的重力提供的阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为 (1)/(2) L；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则重物的一半重力提供阻力，阻力臂为 (1)/(4) a；力F提供动力，动力臂为L．由杠杆的平衡条件得：F ₁ L ₁ =F ₂ L ₂
即： (1)/(4) a? (1)/(2) ρa ³ g+LP? (1)/(2) L=FL
解得人对杠杆的力：
F= ((ρa4 g)/(8)+(p L2)/(2))/(L) = (ρ a4 g)/(8L) + (p)/(2) L
由数学知识a ² +b ² ≥2ab，当a=b时取最小值，可得
当= (ρ a4 g)/(8L) = (p)/(2) L 时，即L= (a2)/(2)

(ρg)/(p)

时F有最小值．
F的最小值为：F= (a2)/(2)

ρgP

．
答：当选用的铁棒长度为L= (a2)/(2)

(ρg)/(p)

时，施加的力最小；这个最小的力是F= (a2)/(2)

ρgP

．