如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，tanA＝34，求OD的长．

Question

如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．

（1）求证：OD⊥AC；
（2）若AE=8，tanA＝(3)/(4)，求OD的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠AOD+∠A=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC；
（2）∵OD⊥AE，O为圆心，
∴D为AE中点，AE=8，
∴AD＝(1)/(2)AE＝4，
又tanA＝(3)/(4)，
∴OD=3．