已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实根．现有四个命题①若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切x∈R成立；②若a＜0，则必存在实数x0使不等式f[f（x0）]＞x0成立；③方程f[f（x）]=x一定

Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实根．现有四个命题
①若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切x∈R成立；
②若a＜0，则必存在实数x₀使不等式f[f（x₀）]＞x₀成立；
③方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切x∈R成立．
其中真命题的个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

方程f（x）=x无实根，∴f（x）-x＞0或f（x）-x＜0．
∵a＞0，∴f（x）-x＞0对一切x∈R成立，
∴f（x）＞x，用f（x）代入，
∴f[f（x）]＞f（x）＞x，∴命题①正确；
同理若a＜0，则有f[f（x）]＜x，∴命题②错误；命题③正确；
∵a+b+c=0，∴f（1）-1＜0，
∴必然归为a＜0，有f[f（x）]＜x，∴命题④正确．
故选C．