如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥ED；③2OH+DH=BH；④BG=2DG；⑤S△BEC：S△BGC=3+1

Question

如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：
①∠CEH=45°；②GF∥ED；③2OH+DH=BH；④BG=√(2)DG；⑤S_△BEC：S_△BGC=(√(3)+1)/(2)．
其中正确的结论有（　　）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ADB=∠CDB=45°．
∵△BEC是等边三角形，
∴BC=BE=CE，∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°，
∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，
∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=75°，
∴∠EAD=∠EDA=15°，
∴∠DEF=30°，
∴∠CEF=45°．故①正确；
②∵∠EDC=75°，∠BDC=45°，
∴∠EDB=30°，
∴∠DEF=∠EDG．∠EGD=75°．
∵∠ADC=90°，∠DAF=15°，
∴∠EFD=75°，
∴∠EFD=∠EGD．
在△DEF和△EDG中，

∠EFD＝∠EGD

∠DEF＝∠EDG

DE＝ED

，
∴△DEF≌△EDG（AAS），
∴DF=EG．
∵EC=DC，
∴EC-EG=DC-DF，
∴CG=CF，
∴∠CGF=∠CFG=75°，
∴∠CED=∠CGF，
∴GF∥ED．故②正确；
③O为BD中点，
∴BD=2OD=2（OH+HD）．
∵BD-DH=BH，
∴BH=2（OH+HD）-DH=2OH+2HD-HD=2OH+DH．故③正确；
④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，
∴∠BMC=∠DNC=90°，
∴BM=sin60°•BC，DN=sin30°•CD．
设AB=BC=CD=AD=x，
∴BM=(√(3))/(2)x，DN=(1)/(2)x．
∵(BG)/(DG)＝(S△BCG)/(S△DCG)．
∴(BG)/(DG)＝((1)/(2)•(√(3))/(2)x•CG)/((1)/(2)•(1)/(2)x•CG)，
∴(BG)/(DG)＝√(3)即BG=√(3)DG．故④错误；
⑤∵GE=DF=tan15°•AD，设AD=CD=BC=AB=x，
∴CE=x，CG=x-GE．
∵tan15°=2-√(3)，
∴GE=DF=（2-√(3)）x，
∴CG=x-（2-√(3)）x=（√(3)-1）x．
∵S_△BEC：S_△BGC=(EC)/(GC)，
∴S_△BEC：S_△BGC=(x)/((√(3)−1)x)=(√(3)+1)/(2)．故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③⑤共4个，
故选B．