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直角坐标系XOY中,已知双曲线L:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)和圆C:x^2+y^2=a^2,过双曲线L的左焦点F做圆C的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P,若M为FP的中点,则|向量OM|-|向量MT|等

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直角坐标系XOY中,已知双曲线L:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)和圆C:x^2+y^2=a^2,过双曲线L的左焦点F做圆C的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P,若M为FP的中点,则|向量OM|-|向量MT|等于( )
▼优质解答
答案和解析
连接P与右焦点F₂,则|PF|-|PF₂|=2a,且OM为三角行FPF₂的中位线(M、O分别是FP、FF₂的中点)
(为了方便,以下用线段字母代表该向量的模长)
所以OM=1/2PF₂,
又MT=MF-TF=1/2PF-TF,TF=√OF²-OT²=√c²-a²=b(c为半焦距)
所以MT=1/2PF-b
所以OM-MT=1/2PF₂-(1/2PF-b)=1/2(PF₂-PF)+b=-a+b
所以答案为b-a