已知⊙O：x2+y2=1和⊙M：（x-4）2+（y-2）2=9.由⊙M上任意一点P向⊙O引切线,切点为Q.找出平面内的定点R已知⊙O：x2+y2=1和⊙M：（x-4）2+（y-2）2=9。由⊙M上任意一点P向⊙O引切线，切点为Q。找出平

Question

已知⊙O：x2+y2=1和⊙M：（x-4）2+（y-2）2=9.由⊙M上任意一点P向⊙O引切线,切点为Q.找出平面内的定点R
已知⊙O：x2+y2=1和⊙M：（x-4）2+（y-2）2=9。由⊙M上任意一点P向⊙O引切线，切点为Q。找出平面内的定点R，使得t=PQ/PR为定值，并求出t。

Answer 1

点P(x,y)在⊙M：（x-4）2+（y-2）2=9上,
∴x^2+y^2=8x+4y-11.
P到⊙O：x2+y2=1的切线PQ满足
PQ^2=x^2+y^2-1=8x+4y-12.
设点R(a,b),则PR^2=(x-a)^2+(y-b)^2=x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2
=(8-2a)x+(4-2b)y+a^2+b^2-11,
由t=PQ/PR为定值得
8x+4y-12=t^2*[(8-2a)x+(4-2b)y+a^2+b^2-11],
∴{（8-2a)t^2=8,①
{(4-2b)t^2=4,②
{(a^2+b^2-11)t^2=-12.③
①/②,a=2b,
代入③/②,化简得5b^2-6b+1=0,b1=1,b2=1/5,
∴a1=2,a2=2/5.t1^2=2,t1=√2；t2^2=10/9,t2=(√10）/3.
∴R(2,1),t1=√2；R(2/5,1/5),t2=(√10）/3.