在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2+y2=4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数12？如果存在，求出点A，B的坐标；如果不存在，请说明理由．

Question

在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x²+y²=4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数(1)/(2)？如果存在，求出点A，B的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

假设在x轴正半轴上存在两个定点A（a，0），B（b，0），其中a>0，b>0，
使得圆x²+y²=4上任意一点P（x₀，y₀）到A，B两点的距离之比为常数(1)/(2)，
则|PA|=(1)/(2)|PB|，
不妨取特殊点C（2，0），D（-2，0）；
有（2-a）²=(1)/(4)（2-b）²①，
（-2-a）²=(1)/(4)（-2-b）²②，
解得a=1，b=4；
所以A（1，0），B（4，0）；
现证明在圆x²+y²=4上任意一点P（x₀，y₀）到A，B两点的距离之比为常数(1)/(2)，
则(x0-1)2+y02=(1)/(4)[(x0-4)2+y02]③，
x02+y02=4④；
把④代入③，并化简得等式恒成立；
所以存在点A（1，0），B（4，0），满足|PA|=(1)/(2)|PB|成立．