已知函数f（x）=ax2-x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式f(x1)-f(x2)x1-x2>0恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(12，+∞)B.[12，+∞)C.(14，+∞)D.[14，+∞)

Question

已知函数f（x）=ax²-x，若对任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，不等式

(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A. (

(1)/(2)，+∞)

B. [

(1)/(2)，+∞)

C. (

(1)/(4)，+∞)

D. [

(1)/(4)，+∞)

Answer 1

不妨设x₂>x₁≥2，
(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)=((ax12-x1)-(ax22-x2))/(x1-x2)=(a(x12-x22)-(x1-x2))/(x1-x2)=(a(x1-x2)(x1+x2)-(x1-x2))/(x1-x2)=a（x₁+x₂）-1，
∵对任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>0恒成立，
∴x₂>x₁≥2时，a（x₁+x₂）-1>0，即a>(1)/(x1+x2)恒成立
∵x₂>x₁≥2
∴(1)/(x1+x2)<(1)/(4)
∴a≥(1)/(4)，即a的取值范围为[(1)/(4)，+∞）
故本题选D