如图，AB是O的直径，点D是AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，

Question

如图，AB是 O的直径，点D是

AE

上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．

（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE²=DF•DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，
∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是 O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠1=∠2，
而∠2=∠AED，
∴∠AED=∠1，
∵∠FDE=∠EDB，
∴△DFE∽△DEB，
∴DE：DF=DB：DE，
∴DE²=DF•DB；
（3）连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠2=∠ODB，
而∠1=∠2，
∴∠ODB=∠1，
∴OD∥BE，
∴△POD∽△PBE，
∴(PD)/(PE)=(PO)/(PB)，
∵PA=AO，
∴PA=AO=BO，
∴(PD)/(PE)=(2)/(3)，即(PD)/(PD+2)=(2)/(3)，
∴PD=4．