若一条不平行坐标轴的直线l与椭圆相交于不同的两点MB,且线段MN中点的横坐标为-1/2,试讨论直线l斜率的取值范围

Question

若一条不平行坐标轴的直线l与椭圆相交于不同的两点MB,且线段MN中点的横坐标为-1/2,试讨论直线l斜率的取值范围

Answer 1

解:∵F1(0,-2√2),F2(0,2√2),
c=2√2∵e=(2√2)/3.
∴a=3,b=1
∴椭圆方程为:x^+y/9=1
设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点T(-1/2,yo),
直线L的斜率k.
∵9x1^+y1^=9……①
∵9x2^+y2^=9……②
①-②得:9(x1^-x2^)+(y1^-y2^)=0
9(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
∴9×[2×(-1/2)]+(2yo)k=0,
∴yo=9/(2k)
∴T(-1/2,9/(2k)),中点T它在椭圆内,
(-1/2)^+[9/(2k)]^＜1
k^＞27
∴k＜-3√3或k＞3√3
∴倾斜角的取值范围θ∈(aretan3√3,π/2)∪(π/2,π-aretan3√3)