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已知在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2,2),对称轴是直线x=1,顶点为B.(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设
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已知在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2,2),对称轴是直线x=1,顶点为B.
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(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;
(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,联结AM,用含m的代数式表示∠AMB的余切值;
(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.
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(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;
(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,联结AM,用含m的代数式表示∠AMB的余切值;
(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线的对称轴为x=1,
∴x=-
=1,即
=1,解得b=2.
∴y=-x2+2x+c.
将A(2,2)代入得:-4+4+c=2,解得:c=2.
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2.
配方得:y=-(x-1)2+3.
∴抛物线的顶点坐标为(1,3).
(2)如图所示:过点A作AC⊥BM,垂足为C,则AC=1,C(1,2).
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∵M(1,m),C(1,2),
∴MC=m-2.
∴cot∠AMB=
=m-2.
(3)∵抛物线的顶点坐标为(1,3),平移后抛物线的顶点坐标在x轴上,
∴抛物线向下平移了3个单位.
∴平移后抛物线的解析式为y=-x2+2x-1,PQ=3.
∵OP=OQ,
∴点O在PQ的垂直平分线上.
又∵QP∥y轴,
∴点Q与点P关于x轴对称.
∴点Q的纵坐标为-
.
将y=-
代入y=-x2+2x-1得:-x2+2x-1=-
,解得:x=
或x=
.
∴点Q的坐标为(
,-
)或(
,-
).
∴x=-
b |
2a |
-b |
2×(-1) |
∴y=-x2+2x+c.
将A(2,2)代入得:-4+4+c=2,解得:c=2.
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2.
配方得:y=-(x-1)2+3.
∴抛物线的顶点坐标为(1,3).
(2)如图所示:过点A作AC⊥BM,垂足为C,则AC=1,C(1,2).
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∵M(1,m),C(1,2),
∴MC=m-2.
∴cot∠AMB=
CM |
AC |
(3)∵抛物线的顶点坐标为(1,3),平移后抛物线的顶点坐标在x轴上,
∴抛物线向下平移了3个单位.
∴平移后抛物线的解析式为y=-x2+2x-1,PQ=3.
∵OP=OQ,
∴点O在PQ的垂直平分线上.
又∵QP∥y轴,
∴点Q与点P关于x轴对称.
∴点Q的纵坐标为-
3 |
2 |
将y=-
3 |
2 |
3 |
2 |
2+
| ||
2 |
2-
| ||
2 |
∴点Q的坐标为(
2+
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2 |
3 |
2 |
2-
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2 |
3 |
2 |
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