已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设

Question

已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．

（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=-(b)/(2a)=1，即(-b)/(2×(-1))=1，解得b=2．
∴y=-x²+2x+c．
将A（2，2）代入得：-4+4+c=2，解得：c=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+2．
配方得：y=-（x-1）²+3．
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．

∵M（1，m），C（1，2），
∴MC=m-2．
∴cot∠AMB=(CM)/(AC)=m-2．
（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，
∴抛物线向下平移了3个单位．
∴平移后抛物线的解析式为y=-x²+2x-1，PQ=3．
∵OP=OQ，
∴点O在PQ的垂直平分线上．
又∵QP∥y轴，
∴点Q与点P关于x轴对称．
∴点Q的纵坐标为-(3)/(2)．
将y=-(3)/(2)代入y=-x²+2x-1得：-x²+2x-1=-(3)/(2)，解得：x=(2+√(6))/(2)或x=(2-√(6))/(2)．
∴点Q的坐标为（(2+√(6))/(2)，-(3)/(2)）或（(2-√(6))/(2)，-(3)/(2)）．