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已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:MB∥CF;(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的
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已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME. ![]() (1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:MB∥CF; (2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长; (3)如图2,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME. |
▼优质解答
答案和解析
(1)延长AB交CF于点D,证明BM为△ADF的中位线即可。 (2)作辅助线,推出BM、ME是两条中位线。 (3)作辅助线,推出BM、ME是两条中位线:BM= ![]() ![]() |
分析:(1)如图1,延长AB交CF于点D,证明BM为△ADF的中位线即可。 (2)如图2,作辅助线,推出BM、ME是两条中位线。 (3)如图3,作辅助线,推出BM、ME是两条中位线:BM= ![]() ![]() (1)证明: 如图1,延长AB交CF于点D,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形, ![]() ∴AB=BC=BD。 ∴点B为线段AD的中点。 又∵点M为线段AF的中点, ∴BM为△ADF的中位线。 ∴BM∥CF。 (2)如图2,延长AB交CF于点D,则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形, ![]() ∴AB=BC=BD=a,AC=AD= ![]() ∴点B为AD中点,又点M为AF中点。 ∴BM= ![]() 分别延长FE与CA交于点G,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形, ∴CE=EF=GE=2a,CG=CF= ![]() ∴点E为FG中点,又点M为AF中点。 ∴ME= ![]() ∵CG=CF= ![]() ![]() ![]() ∴BM=ME= ![]() (3)证明:如图3,延长AB交CE于点D,连接DF,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形, ![]() ∴AB=BC=BD,AC=CD。 ∴点B为AD中点。 又点M为AF中点,∴BM= ![]() 延长FE与CB交于点G,连接AG,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形, ∴CE=EF=EG,CF=CG。 ∴点E为FG中点。 又点M为AF中点,∴ME= ![]() 在△ACG与△DCF中,∵ ![]() ∴△ACG≌△DCF(SAS)。 ∴DF=AG,∴BM=ME。 |
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