如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x的正半轴交于点A，与x的负半轴交于点B，与y轴交于点C．△PAC中，P（1，-1），∠P=90°，PA=PC．（1）求点A的坐标．（2）将△PAC沿A

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=ax²+bx+1（a≠0）的图象与x的正半轴交于点A，与x的负半轴交于点B，与y轴交于点C．△PAC中，P（1，-1），∠P=90°，PA=PC．
（1）求点A的坐标．
（2）将△PAC沿AC翻折，若点P的对应点Q恰好落在函数y=ax²+bx+1（a≠0）的图象上，求a与b的值．
（3）将△ACO绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，在x轴上取一点M，将∠PMD沿PM翻折，若点D的对应点F恰好落在x轴上，求点M的坐标．

Answer 1

（1）设点A的坐标为（a，0），
∵y=ax²+bx+1，
∴C（0，1），
∵P（1，-1），PA=PC，
∴√(1+(-1-1)2)=√((a-1)2+1)，
∴a=3或a=-1，
∴点A的坐标为（3，0）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

3k+b=0

b=1

，
解得k=-(1)/(3)，b=1，
∴直线AC的解析式为y=-(1)/(3)x+1，
设点Q的坐标为（m，n），
∵点Q和点P关于直线AC对称轴，
∴Q（2，2），
∴

9a+3b+1=0

4a+2b+1=2

，
解得a=-(5)/(6)，b=(13)/(6)；

（3） D（2，-3），
设点M（m，0），
由PD=PF得，F（-1，0）或F（3，0），
当点F（-1，0）时，由MD=MF得，（m-2）²+3²=（m+1）²，解得m=2，
当点F（3，0）时，由MD=MF得，（m-2）²+3²=（m-3）²，解得m=-2，
因此点M的坐标为（2，0）或（-2，0）．