几何求证线段相等任意锐角三角形ABC,在AC、AB上各取一点使得∠ABE=∠ACF,BE与CF交于点O,OP⊥AC于点P,OQ⊥AB于点Q,点D为BC中点,连结DP,DQ.求证:DP=DQ在AC、AB上各取一点E,F使得∠ABE=∠ACF，

Question

几何求证线段相等
任意锐角三角形ABC,在AC、AB上各取一点使得∠ABE=∠ACF,BE与CF交于点O,OP⊥AC于点P,OQ⊥AB于点Q,点D为BC中点,连结DP,DQ.求证:DP=DQ
在AC、AB上各取一点E,F使得∠ABE=∠ACF，

Answer 1

你学过相似吗?用相似就很简单
延长PD一倍到G,连BG,QG
易证△CPD≌△BGD
∴CP=BG
∵∠PCO=∠QBO
∠OPC=∠OQB=90°
∴△OPC∽△OQB
∴OP/CP=OQ/BQ(重点)
∵CP=BG
∴OP/BG=OQ/BQ
在四边形APOQ中
∵∠APO=∠AQO=90°
∴∠A+∠QOP=180°
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠QOP=∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠CBG=∠QBG（重点）
∴△QOP∽QBG
∴∠OQP=∠BQG
∴∠BQO=∠GFP=90°（等加等）
∵PD=GD
∴QD=1/2PG=PD