已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（II）问是否存在定点M，不论直线l

Question

已知抛物线C：y²=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得(1)/(|AM|2)+(1)/(|BM|2)恒为定值．

Answer 1

（I）设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P的坐标为P（x₀，y₀），
由题意得M（1，0），直线l的方程为y=x-1．（2分）
由

y＝x−1

y2＝4x

可得x²-6x+1=0，
则x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，∴x0＝(x1+x2)/(2)＝3，y0＝x0−1＝2．（4分）
故圆心为P（3，2），直径|AB|＝√(1+k2)|x1−x2|＝√(2)•√((x1+x2)2−4x1x2)＝8．
∴以AB为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=16．（6分）
（II）若存在这样的点M，使得(1)/(|AM|2)+(1)/(|BM|2)为定值，直线l：x=ky+m．
由

x＝ky+m

y2＝4x

，∴y²-4ky-4m=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
又∵|AM|2＝

y

2 1

(1+k2)，|BM|2＝

y

2 2

(1+k2)，
∴(1)/(|AM|2)+(1)/(|BM|2)＝((1)/(y21)+(1)/(y22))•(1)/(1+k2)＝(1)/(1+k2)•((y1+y2)2−2y1y2)/((y1y2)2)=(1)/(1+k2)•(16(k2+(m)/(2)))/(16m2)，（13分）
因为要与k无关，只需令(m)/(2)＝1，即m=2，进而(1)/(|AM|2)+(1)/(|BM|2)＝(1)/(4)．
所以，存在定点M（2，0），不论直线l绕点M如何转动，(1)/(|AM|2)+(1)/(|BM|2)恒为定值(1)/(4)．