在等差数列{an}中，a15+a16+a17=-45，a9=-36，Sn为其前n项和．（1）求Sn的最小值，并求出相应的n值；（2）求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|．

Question

在等差数列{a_n}中，a₁₅+a₁₆+a₁₇=-45，a₉=-36，S_n为其前n项和．
（1）求S_n的最小值，并求出相应的n值；
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

（1）等差数列{a_n}中，a₁₅+a₁₆+a₁₇=-45，a₉=-36，
∴3a₁+45d=-45，a₁+8d=-36，
解得a₁=-60，d=3．
∴a_n=-60+3（n-1）=3n-63．
S_n=(n(-60+3n-63))/(2)=(3n2-123n)/(2)．
令a_n=3n-63≤0．解得n≤21．
∴n=20或21时S_n取得最小值=(3×212-123×21)/(2)=-630．
（2）n≤21时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n．
n≥22时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a₂₁）+a₂₂+…+a_n=-2S₂₁+S_n=(3n2-123n)/(2)-2×（-630）=(3n2-123n)/(2)+1260．