已知数列{a[n]}的前n项和为S[n],且满足a[n]+2S[n]×S[n-1]=0(n≥0),a[1]=1/2.求证：（1）{1/S[n]}是等差数列；（2）求a[n]表达式.(要具体过程,[]中的是下角标!)

Question

已知数列{a[n]}的前n项和为S[n],且满足a[n]+2S[n]×S[n-1]=0(n≥0),a[1]=1/2.求证：（1）{1/S[n]}是等差数列；（2）求a[n]表达式.
(要具体过程,[]中的是下角标!)

Answer 1

1,当n=1时,有S1=a1=1/2
当n>=2时,an=Sn-S(n-1)于是有a[n]+2S[n]×S[n-1]=Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0
因为a1=1/2不等于0,所以有Sn不等于0,于是将等式两边同除以SnS(n-1)得到1/S(n-1)-1/Sn+2=0于是有1/Sn-1/S(n-1)=2而1/S1=2所以数列{1/Sn}是首项为2公差为2的等差数.
2,由（1）得到1/Sn=2n所以有Sn=1//2n
当n>=2时有,an=Sn-S(n-1)=1/2n-1/2(n-1)=-1/[2n(n-1)]
所以有数列的通项公式为n=1,a1=1/2;n>=2,an=-1/[2n(n-1)]