经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是．

Question

经过抛物线y²=4x的焦点的弦中点轨迹方程是______．

Answer 1

由题知抛物线焦点为（1，0）
直线斜率存在时，设焦点弦方程为y=k（x-1），代入抛物线方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韦达定理：x₁+x₂=(2k2+4)/(k2)，所以中点横坐标：x=(x1+x2)/(2)=(k2+2)/(k2)
代入直线方程，中点纵坐标：y=k（x-1）=(2)/(k)．即中点为（(k2+2)/(k2)，(2)/(k)）
消参数k，得其方程为y²=2x-2
直线斜率不存在时，（1，0）也满足方程．
故答案为：y²=2x-2