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(2003•盐城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴的正半轴交于点C,以AB为直径的圆经过点C及抛物线上的另一点D,∠ABC=60度.(1)求点A和点B的
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(2003•盐城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴的正半轴交于点C,以AB为直径的圆经过点C及抛物线上的另一点D,∠ABC=60度.
(1)求点A和点B的坐标(用含有字母c的式子表示);
(2)如果四边形ABCD的面积为,求抛物线的解析式;
(3)如果当x>1时,y随x的增大而减小,求c的取值范围.
(1)求点A和点B的坐标(用含有字母c的式子表示);
(2)如果四边形ABCD的面积为,求抛物线的解析式;
(3)如果当x>1时,y随x的增大而减小,求c的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)取圆心为M,根据抛物线和圆都是轴对称图形,可证明△BCM、△ADM、△CDM都是等边三角形,其中OC是△BCM的高,解直角三角形可得BC长,即为圆的半径,从而可表示A、B两点坐标;
(2)由(1)可得AB=c,CD=c,OC=c,根据梯形面积公式求c,可得A、B、C三点坐标,设交点式求抛物线解析式;
(3)当x>1时,y随x的增大而减小,联想对称轴x=-=c≤1,易得c≤,又抛物线交y轴于正半轴,∴0<c≤.
【解析】
(1)设线段AB的中点为M,连接CM、DM,由∠ABC=60°,MC=MB,
∴△BCM为等边三角形,
∴由抛物线的对称性可知△ADM也是等边三角形,
又∵MC=MC,∠CMD=180°-60°-60°=60°,
∴△CDM也是等边三角形,
故BC=CD=AD=AB,
解Rt△BOC得OB=OC=c,BC=2OB=c,
故A(c,0),B(-c,0);
(2)当S四边形ABCD=时,×(c+c)×c=,
解得c=1,
∴A(,0),B(-,0),C(0,1),
设抛物线解析式y=a(x-)(x+),
把A(0,1)代入得a=-1,
∴y=-(x-)(x+),
即y=-x2+x+1;
(3)如果当x>1时,y随x的增大而减小,
则对称轴x=-=c≤1,c≤,
又∵抛物线交y轴于正半轴,
∴0<c≤.
(2)由(1)可得AB=c,CD=c,OC=c,根据梯形面积公式求c,可得A、B、C三点坐标,设交点式求抛物线解析式;
(3)当x>1时,y随x的增大而减小,联想对称轴x=-=c≤1,易得c≤,又抛物线交y轴于正半轴,∴0<c≤.
【解析】
(1)设线段AB的中点为M,连接CM、DM,由∠ABC=60°,MC=MB,
∴△BCM为等边三角形,
∴由抛物线的对称性可知△ADM也是等边三角形,
又∵MC=MC,∠CMD=180°-60°-60°=60°,
∴△CDM也是等边三角形,
故BC=CD=AD=AB,
解Rt△BOC得OB=OC=c,BC=2OB=c,
故A(c,0),B(-c,0);
(2)当S四边形ABCD=时,×(c+c)×c=,
解得c=1,
∴A(,0),B(-,0),C(0,1),
设抛物线解析式y=a(x-)(x+),
把A(0,1)代入得a=-1,
∴y=-(x-)(x+),
即y=-x2+x+1;
(3)如果当x>1时,y随x的增大而减小,
则对称轴x=-=c≤1,c≤,
又∵抛物线交y轴于正半轴,
∴0<c≤.
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