如图1，在等边三角形ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．（1）当点E为AB的中点时，（如图2）则有AEDB（填“>”“<”或“=”）．（2）猜想AE与DB的数量关系，

Question

如图1，在等边三角形ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．
（1）当点E为AB的中点时，（如图2）则有AE___DB（填“>”“<”或“=”）．
（2）猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若等边△ABC的边长为1，E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，AE=2，求CD的长．

Answer 1

（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，
∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∴∠DEC=120°，
∴∠DEB=120°-90°=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴BD=BE=AE，即AE=DB．
故答案为：=．
（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：
过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中，

∠DEB=∠ECF

∠DBE=∠EFC

DE=CE

∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD=EF=AE，即AE=BD，
（3） CD=1或3，
理由是：分为两种情况：
①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=(1)/(2)BC=(1)/(2)，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴(AB)/(BE)=(BM)/(BN)，即(1)/(1)=((1)/(2))/(BN)，
∴BN=(1)/(2)，
∴CN=1+(1)/(2)=(3)/(2)，
∴CD=2CN=3；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=(1)/(2)BC=(1)/(2)，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴(AB)/(AE)=(BM)/(MN)，
∴(1)/(2)=((1)/(2))/(MN)，
∴MN=1，
∴CN=1-(1)/(2)=(1)/(2)，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．