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如图1,在等边三角形ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且ED=EC.(1)当点E为AB的中点时,(如图2)则有AEDB(填“>”“<”或“=”).(2)猜想AE与DB的数量关系,
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如图1,在等边三角形ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且ED=EC.
(1)当点E为AB的中点时,(如图2)则有AE___DB(填“>”“<”或“=”).
(2)猜想AE与DB的数量关系,并证明你的猜想.
(3)若等边△ABC的边长为1,E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,AE=2,求CD的长.
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(1)当点E为AB的中点时,(如图2)则有AE___DB(填“>”“<”或“=”).
(2)猜想AE与DB的数量关系,并证明你的猜想.
(3)若等边△ABC的边长为1,E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,AE=2,求CD的长.
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,∵△ABC是等边三角形,点E是AB的中点,
∴CE平分∠ACB,CE⊥AB,
∴∠ACB=60°,∠BEC=90°,AE=BE,
又∵ED=EC,
∴∠D=∠ECB=30°,
∴∠DEC=120°,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_1bb3b0a2795cecf2211ec4c10553d662.jpg)
∴∠DEB=120°-90°=30°,
∴∠D=∠DEB=30°,
∴BD=BE=AE,即AE=DB.
故答案为:=.
(2)当点E为AB上任意一点时,如图2,AE与DB的大小关系不会改变.理由如下:
过E作EF∥BC交AC于F,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF,
在△DEB和△ECF中,
∴△DEB≌△ECF(AAS),
∴BD=EF=AE,即AE=BD,
(3) CD=1或3,
理由是:分为两种情况:![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_65458531cfd5e04cb2a18b87443cecc1.jpg)
①如图3,过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CM=
BC=
,
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AM∥EN,
∴△AMB∽△ENB,
∴
=
,即
=
,
∴BN=
,
∴CN=1+
=
,
∴CD=2CN=3;
②如图4,作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CM=
BC=
,
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AM∥EN,
∴
=
,
∴
=
,
∴MN=1,
∴CN=1-
=
,
∴CD=2CN=1,
即CD=3或1.
∴CE平分∠ACB,CE⊥AB,
∴∠ACB=60°,∠BEC=90°,AE=BE,
又∵ED=EC,
∴∠D=∠ECB=30°,
∴∠DEC=120°,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_1bb3b0a2795cecf2211ec4c10553d662.jpg)
∴∠DEB=120°-90°=30°,
∴∠D=∠DEB=30°,
∴BD=BE=AE,即AE=DB.
故答案为:=.
(2)当点E为AB上任意一点时,如图2,AE与DB的大小关系不会改变.理由如下:
过E作EF∥BC交AC于F,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF,
在△DEB和△ECF中,
|
∴△DEB≌△ECF(AAS),
∴BD=EF=AE,即AE=BD,
(3) CD=1或3,
理由是:分为两种情况:
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_65458531cfd5e04cb2a18b87443cecc1.jpg)
①如图3,过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AM∥EN,
∴△AMB∽△ENB,
∴
AB |
BE |
BM |
BN |
1 |
1 |
| ||
BN |
∴BN=
1 |
2 |
∴CN=1+
1 |
2 |
3 |
2 |
∴CD=2CN=3;
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则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AM∥EN,
∴
AB |
AE |
BM |
MN |
∴
1 |
2 |
| ||
MN |
∴MN=1,
∴CN=1-
1 |
2 |
1 |
2 |
∴CD=2CN=1,
即CD=3或1.
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