在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的点N,M的坐标分别是

Question

在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的点N,M的坐标分别是

Answer 1

解
连接M,N,M,N坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
∵M,N是抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的点,即直线y=x+3 垂直平分直线MN
∴直线MN的斜率是-1/1=-1,设直线MN方程为 y=-x+b,联立抛物线y=x^2消去y得
x^2+x-b=0,由韦达定理得 x1+x2=-1
又点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)在直线y=x+3,(y1+y2)/2=-1/2+3=5/2,即y1+y2=5
且y1=-x1+b,y2=-x2+b,两式相加得 5=-(x1+x2)+2b 解得b=2
∴MN方程为 y=-x+2
∴x^2+x-b=x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0 解得x1=-2,x2=1
将x1=-2,x2=1 代入 y=-x+2 得 y1=4,y2=1
∴M,N坐标分别为(-2,4),(1,1)