如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为2的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（）A.23B.13C.2D.1

Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为√(2)的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（　　）
A. (2)/(3)
B. (1)/(3)
C. √(2)
D. 1

Answer 1

作EF∥AC且EF=√(2)，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=√(2)，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，
则四边形BMNE的周长最小，
由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，
∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，
∴△PFQ∽△PDC，
∴(PQ)/(PQ+QE+EC)=(FQ)/(CD)，
∴(PQ)/(PQ+2)=(1)/(4)，
解得：PQ=(2)/(3)，
∴PC=(8)/(3)，
由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC=((8)/(3))/(4)=(2)/(3)．
故选：A．