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如图,在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直于BC于D,DE垂直于AC于E,M为DE的中点,求证AM垂直于BE
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如图,在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直于BC于D,DE垂直于AC于E,M为DE的中点 ,求证AM垂直于BE
▼优质解答
答案和解析
设BE,AM相交于点F,证明A 、B、D、F四点共圆即可得证.
证明：
∵DE⊥AC AD⊥BC AB=AC
∴BC=2CD △ADE∽△DCE
∴AD/DC=DE/CE
∵M是DE的中点
∴DE=2DM
∴2AD/BC=2DM/CE
∴AD/BC=DM/CE
∵∠ADE=∠DCE
∴△ADM∽△BCE
∴∠CBE=∠DAF
∴A、B、D、F四点共圆
∴∠AFB=∠ADB=90°
即AM⊥BE
若对四点共圆不理解,也可以设AD与BE相交于G,再证明△BDG∽△AFG也可.
证明：
∵DE⊥AC AD⊥BC AB=AC
∴BC=2CD △ADE∽△DCE
∴AD/DC=DE/CE
∵M是DE的中点
∴DE=2DM
∴2AD/BC=2DM/CE
∴AD/BC=DM/CE
∵∠ADE=∠DCE
∴△ADM∽△BCE
∴∠CBE=∠DAF
∴A、B、D、F四点共圆
∴∠AFB=∠ADB=90°
即AM⊥BE
若对四点共圆不理解,也可以设AD与BE相交于G,再证明△BDG∽△AFG也可.
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