将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n="2,"3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时

Question

将正 分割成 个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n="2," 3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为 ，则有 ，          ，… ，               .

Answer 1

将正 分割成 个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n="2," 3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为 ，则有 ，          ，… ，               .

;

若依题意顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1，按等差数列的性质进行计算则显然运算量较大,故常规思维不可取！可偏偏特取A ,B ,C处的数均为 （极限法）来思考：
则图2中有 个 ，得 ；故图3中有 个 ，得
；易知 时有 个 ，
探讨数列
（可参考2006湖南卷:逆序数）由叠加法推知:
个 , .