将f（x）=ln（3x-x2）在x=1处展开为幂级数．

Question

将f（x）=ln（3x-x²）在x=1处展开为幂级数．

Answer 1

由于f（x）=lnx（3-x）=lnx+ln（3-x）
=ln[1+(x−1)]+ln2[1−(1)/(2)(x−1)]
=ln[1+(x−1)]+ln[1−(1)/(2)(x−1)]+ln2
而ln(1+x)＝

∞

n＝1

((−1)n−1)/(n)xn
∴ln[1+(x−1)]＝

∞

n＝1

((−1)n−1(x−1)n)/(n)
ln[1−(1)/(2)(x−1)]＝

∞

n＝1

((x−1)n)/(2n)
∴f(x)＝

∞

n＝1

[((−1)n−1(x−1)n)/(n)+((x−1)n)/(2n)]+ln2，x∈（0，2]