如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a-2）2+|2b-4|=0．（1）如图1，求△AOB的面积；（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD=45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数

Question

如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a-2）²+|2b-4|=0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD=45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．

Answer 1

（1） ∵（a-2）²+|2b-4|=0，∴a-2=0，2b-4=0，
∴a=2，b=2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA=2，OB=2，
∴△AOB的面积=(1)/(2)×2×2=2；

（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC=∠OBF=∠OBA=45°，∠DBA=90°，
∴∠BDF=180°，
∵∠DOC=45°，∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=45°，
∴∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，
在△ODF与△ODC中，

OF=OC

∠FOD=∠COD

OD=OD

，
∴△ODF≌△ODC，
∴DC=DF=DB+BF=DB+DC；

（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF=FD，
∵∠BAO=∠PDF=45°，
∴∠PAB=∠PD，E=135°，
∴∠BPA+∠EPF=90°∠EPF+∠PED=90°，
∴∠BPA=∠PED，
在△PBA与△EPD中，

PF=PD

∠BPA=∠PED

PB=PE

，
∴△PBA≌EPD，
∴AP=ED，
∴FD+ED=PF+AP，
即：FE=FA，
∴∠FEA=∠FAE=45°，
∴∠QAO=∠EAF=∠OQA=45°，
∴OA=OQ=2，
∴BQ=4．