已知数列{an}为a0，a1，a2，a3，…，an（n∈N），bn=ni＝0ai表示a0+a1+a2+a3+…+an，i∈N．（1）若数列{an}为等比数列an=2n（n∈N），求ni＝0（biCin）；（2）若数列{an}为等差数列an=2n（n∈N），求ni＝1

Question

已知数列{a_n}为a₀，a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N），b_n=

n

i＝0

ai表示a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，i∈N．
（1）若数列{a_n}为等比数列a_n=2ⁿ（n∈N），求

n

i＝0

（b_iC

i

n

）；
（2）若数列{a_n}为等差数列a_n=2n（n∈N），求

n

i＝1

（b_iC

i

n

）．

Answer 1

（1）∵a_n=2ⁿ，b_n=

n

i＝0

ai，
∴bn＝20+21+22+…+2n＝2n+1−1，
∴

n

i＝0

(bi

C

i n

)＝(21−1)

C

0 n

+(22−1)

C

1 n

+(23−1)

C

2 n

+…+(2n+1−1)

C

n n

=21•

C

0 n

−1•

C

0 n

+22•

C

1 n

−1•

C

1 n

+23•

C

2 n

−1•

C

2 n

+…+2n+1•

C

n n

−1•

C

n n

=2(

C

0 n

+21•

C

1 n

+22•

C

2 n

+…+2n•

C

n n

)−(

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

)
=2（1+2）ⁿ-2ⁿ=2•3ⁿ-2ⁿ． …（4分）
（2）∵a_n=2n，b_n=

n

i＝0

ai，
∴b_n=0+2+4+…+2n=n（n+1），
∴

n

i＝0

(bi

C

i n

)＝1•2•

C

1 n

+2•3•

C

2 n

+3•4•

C

3 n

+…+n(n+1)

C

n n

，
(1+x)n＝

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+

C

3 n

x3+…+

C

n n

xn，
两边同乘以x，则有x(1+x)n＝

C

0 n

x+

C

1 n

x2+

C

2 n

x3+

C

3 n

x4+…+

C

n n

xn+1，
两边求导，左边=（1+x）ⁿ+nx（1+x）^n-1，
右边=

C

0 n

+2

C

1 n

x+3

C

2 n

x2+4

C

3 n

x3+…+(n+1)

C

n n

xn，
即(1+x)n+nx(1+x)n−1＝

C

0 n

+2

C

1 n

x+3

C

2 n

x2+4

C

3 n

x3+…+(n+1)

C

n n

xn（*），
对（*）式两边再求导，
得2n(1+x)n−1+n(n−1)x(1+x)n−2＝2•1•

C

1 n

+3•2•

C

2 n

x+4•3•

C

3 n

x2+…+(n+1)n

C

n n

xn−1
取x=1，则有(n2+3n)•2n−2＝1•2•

C

1 n

+2•3•

C

2 n

+3•4•

C

3 n

+…+n(n+1)

C

n n

∴

n

i＝1

(bi

C

i n

)＝(n2+3n)•2n−2．…（10分）