如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1B1C1均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D-AA1-C的余弦值；（Ⅲ）在直线CC1上是否存

Question

如图，棱柱ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A ₁ B ₁ C ₁ 均为60°，平面AA ₁ C ₁ C⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：BD⊥AA ₁ ；
（Ⅱ）求二面角D-AA ₁ -C的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC ₁ 上是否存在点P，使BP∥平面DA ₁ C ₁ ，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由。

Answer 1

设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连结A 1 O， 在△AA 1 O中，AA 1 =2，AO=1，∠A 1 AO=60°， 所以A 1 O 2 =AA 1 2 +AO 2 -2AA 1 ·AOcos60°=3， 所以AO 2 +A 1 O 2 =AA 1 2 ，所以A 1 O⊥AO。 由于平面AA 1 C 1 C⊥平面ABCD， 所以A 1 O⊥平面ABCD。 以OB，OC，OA 1 所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，  （Ⅰ）由于 ， ， ∴ ； （Ⅱ）由于OB⊥平面 ， ∴平面 的一个法向量为 ， 设 ，则 ， 设 ，则 ， 取 ， ∴ ， 所以，二面角D-A 1 A-C的平面角的余弦值为 。 （Ⅲ）假设在直线CC 1 上存在点P，使BP∥平面DA 1 C 1 ， 设 ，P（x，y，z）， 则 ， 从而有 ， 设 ，则 ， 又 ， 设 ，则 ，取 ， 因为BP∥平面DA 1 C 1 ，则 ，即 ， 得 ，即点P在C 1 C的延长线上，且 。