如图直线l：y=kx+2-4k（k为实数）．（1）求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点．求△AOB面积的最小值．

Question

如图直线l：y=kx+2-4k（k为实数）．

（1）求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；
（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点．求△AOB面积的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵原式可化为y=（x-4）k+2，
∴当x=4时，不论k何值，y=2．所以定点M（4，2）
∴不论k为任何实数，直线l都过定点M（4.2）；
（2） 取x=0，得OB=2-4k（k＜0），
取y=0．得OA=(4k-2)/(k)（k＜0），
于是S_△AOB=((4k-2)(2-4k))/(2k)（k＜0），
将上式转化为二次方程得，8k²+（s-8）k+2=0．①
因为k为实数，
所以△=（S-8）²-64≥O．即S²-16S≥O，故S≥16．
将S=16代入式①．得k=-(1)/(2)，
所以当k=-(1)/(2)时，S_△AOB最小=16．