已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE．

Question

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE．

Answer 1

证明：延长BA和CE交于点M，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=∠BEM=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠MBE=∠CBE，
在△BME和△BCE中

∠CBE=∠MBE

BE=BE

∠BEM=∠BEC

，
∴△BME≌△BCE（ASA），
∴EM=EC=(1)/(2)MC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠MAC=90°，BA=AC，
∴∠ABD+∠BDA=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠ACM+∠CBE=90°，
∵∠BDA=∠EDC，
∴∠ABE=∠ACM，
在△ABD和△ACM中

∠ABD=∠ACM

AB=AC

∠BAC=∠MAC

，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴DB=MC，
∴BD=2CE．