跪求椭圆焦点三角形面积公式S＝B∧2tan（θ╱2）θ是PF1与PF2夹角,

Question

跪求椭圆焦点三角形面积公式S＝B∧2tan（θ╱2）
θ是PF1与PF2夹角,

Answer 1

设P是椭圆上一点,椭圆的长半轴长为a、半焦距为c,F1,F2是椭圆两焦点,
令PF1、F2的长分别是x、y；由椭圆定义得：x+y=2a,由余弦定理得：4c²=x²+y²-2xycosθ,
由x+y=2a得：x²+y²+2xy=4a²,即：x²+y²=4a²-2xy,代入4c²=x²+y²-2xycosθ得：
4c²=4a²-2xy-2xycosθ,即：2xy(1+cosθ）=4a²-4c²=4b²,所以：xy=2b²/(1+cosθ）
把xy=2b²/(1+cosθ）代入S=(xysinθ)/2得：S=b²sinθ/(1+cosθ）,
因为sinθ/(1+cosθ）=2(sinθ/2)(cosθ/2)/2(cos²θ/2）=tan（θ╱2）,
所以：S＝b²tan（θ╱2）