如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长．

Question

如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长．

Answer 1

∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，∠AEG+∠AGE=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AEG∽△BFE，
∵E为AB边的中点，
∴GA：AE=BE：BF，
∴AE=BE=√(1×2)＝√(2)，GE=√(1+2)＝√(3)，EF=√(2+4)＝√(6)，GF=√(3+6)=3．

另法：取GF的中点H，连接EH，

∵GA∥BF，GF和BA不平行，
∴四边形GABF是梯形，
∴EH=(GA+BF)/(2)（梯形中位线定理），
∵GA=1，BF=2，
∴EH=(3)/(2)，
∵∠GEF=90°，
∴△GEF是直角三角形，
∴GF=2EH=2×(3)/(2)=3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．