已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是AD的中点．（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；（2）若CD=4cm，求AP+PB的最小值．

Question

已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是

AD

的中点．

（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
（2）若CD=4cm，求AP+PB的最小值．

Answer 1

（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）延长AO交圆于E，连接OB′，B′E．
∵BB′⊥CD
∴

BD

=

B′D

，
∵∠AOD=80°，B是

AD

的中点，
∴∠DOB′=(1)/(2)∠AOD=40°．
∴∠AOB′=∠AOD+∠DOB′=120°，
又∵OA=OB′，
∴∠A=(180°−∠AOB′)/(2)=30°．
∵AE是圆的直径，
∴∠AB′E=90°，
∴直角△AEB′中，B′E=(1)/(2)AE=(1)/(2)×4=2，
∴AB′=√(AE2−B′E2)=√(16−4)=2√(3)cm．