如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,以AB为一边作等边△ABD,过点B作如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,以AB为一边作等边△ABD,过点B作BE⊥AB,BE与线段BC得垂直平分线l相交于点E.（1）连接AE,CD,求

Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC =30°,以AB为一边作等边△ABD,过点B作
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC
=30°,以AB为一边作等边△ABD,过点B作BE⊥AB,BE与线段BC得垂直平分线l相交于点E.
（1）连接AE,CD,求证AE=CD.
（2）如图,连接DE交AB于点F,试猜想DF与EF满足什么数量关系?并说明理由.

Answer 1

（1）证明：因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=BD
角ABD=60度
因为角ABC=30度
所以角ABC+角ABD=角CBD=90度
因为BE垂直AB, BE交线段BC的垂直平分线EG相交于E,交BC于G（G是自己设的）
所以角ABE=90度
CG=BG=1/2BC
角BGE=90度
因为角ABC+角CBE=角ABE=90度
所以角CBE=60度
因为角BGE+角BEG+角GBE=180度
所以角BEG=30度
所以在直角三角形BGE中,角BGE=90度,角BEG=30度
所以BG=1/2BE
所以BE=BC
角CBD=角ABE=90度
所以三角形ABE和三角形CBD全等（SAS)
所以AE=CD
(2)DF=4分之根号3倍EF
过点D作DM垂直AB于M
所以角DMF=90度
因为三角形ABD是等边三角形
所以DM是等边三角形ABD的垂线,中线
所以BM=1/2AB
因为角ACB=90度
角ABC=30度
所以AC=1/2AB
AB^2=AC^2+BC^2
所以AB=根号3/2BC
因为BC=BE（已证)
所以AB=根号3/2BE
所以DM=根号3/4BE
因为角ABE=90度（已证）
所以角DMF=角ABE=90度
角DFM=角BFE
所以三角形DMF和三角形BFE相似（AA0
所以DM/BE=DF/EF
所以DF/EF=根号3/4
所以DF=4分之根号3倍EF