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设点P为函数f(x)=12x2+2ax与g(x)=3a2lnx+2b(a>0)图象的公共点,以P为切点可作直线l与两曲线都相切,则实数b的最大值为34e2334e23.
题目详情
设点P为函数f(x)=
x2+2ax与g(x)=3a2lnx+2b(a>0)图象的公共点,以P为切点可作直线l与两曲线都相切,则实数b的最大值为
e
e
.
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▼优质解答
答案和解析
设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点P(x0,y0)处的切线相同、
f′(x)=x+2a,g′(x)=
,
由题意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
即
x02+2ax0=3a2lnx0+2b,x0+2a=
由x0+2a=x0+2a=
得x0=a或x0=-3a(舍去),
即有2b=
a2+2a2-3a2lna=
a2-3a2lna.
令h(t)=
t2-3t2lnt(t>0),则h′(t)=2t(1-3lnt)、
于是当t(1-3lnt)>0,即0<t<e
时,h′(t)>0;
当t(1-3lnt)<0,即t>e
时,h′(t)<0.
故h(t)在(0,e
)为增函数,在(e
,+∞)为减函数,
于是h(t)在(0,+∞)的最大值为h(e
)=
e
,
故b的最大值为
e
.
故答案为:
e
.
f′(x)=x+2a,g′(x)=
3a2 |
x |
由题意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
即
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3a2 |
x0 |
由x0+2a=x0+2a=
3a2 |
x0 |
即有2b=
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令h(t)=
5 |
2 |
于是当t(1-3lnt)>0,即0<t<e
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当t(1-3lnt)<0,即t>e
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故h(t)在(0,e
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于是h(t)在(0,+∞)的最大值为h(e
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故b的最大值为
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故答案为:
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