如图，在直角坐标系xoy中，AB是半圆O：x2+y2=1（y≥0）的直径，点C是半圆O上任一点，延长AC到点P，使CP=CB，当点C从点B运动到点A时，动点P的轨迹的长度是（）A．2πB．

Question

如图，在直角坐标系xoy中，AB是半圆O：x ² +y ² =1（y≥0）的直径，点C是半圆O上任一点，延长AC到点P，使CP=CB，当点C从点B运动到点A时，动点P的轨迹的长度是（　　）

A．2π

B． 2 π

C．π

D． 4 2 π

Answer 1

连结BP，根据题意可得△BCP是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
∴∠APB=45°，即直线PA到PB的角为45°，
设P（x，y），可得k _PA = (y)/(x+1) ，k _PB = (y)/(x-1) ，
∴tan45°= ((y)/(x-1)-(y)/(x+1))/(1+(y)/(x-1)•(y)/(x+1)) =1，
化简得x ² +（y-1） ² =2．
∴点P的轨迹方程为x ² +（y-1） ² =2，
由已知y≥0可得k _PA = (y)/(x+1) ＞0，
可知P点的轨迹是以（0，1）为圆心、半径r=

2

的半圆，
可得轨迹的长度是 (1)/(2) ×2πr=

2

π ．
故选：B