（2010•武汉模拟）如图1，已知直线y=25x+2与x轴交于点A，交y轴于C、抛物线y=ax2+4ax+b经过A、C两点，抛物线交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在抛物线上，且有△AQC和△BQC面积

Question

（2010•武汉模拟）如图1，已知直线y=(2)/(5)x+2与x轴交于点A，交y轴于C、抛物线y=ax²+4ax+b经过A、C两点，抛物线交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q在抛物线上，且有△AQC和△BQC面积相等，求点Q的坐标；
（3）如图2，点P为△AOC外接圆上

ACO

的中点，直线PC交x轴于D，∠EDF=∠ACO．当∠EDF绕D旋转时，DE交AC于M，DF交y轴负半轴于N、问CN-CM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．

Answer 1

（1）由直线AC的解析式可得：A（-5，0），C（0，2）；
代入抛物线的解析式中可得：

25a−20a+b＝0

b＝2

，
解得

a＝−(2)/(5)

b＝2

；
故抛物线的解析式为：y=-(2)/(5)x²-(8)/(5)x+2．

（2）易知B（1，0）；
①当Q在AC段的抛物线上时，
△ACQ和△BCQ同底，若它们的面积相等，则A、B到直线CQ得距离相等，即CQ∥AB；
由于抛物线的对称轴为x=-2，
故Q（-4，2）；
②当Q在线段AC外的直线上时，
△ACQ的面积为：(1)/(2)AL•|y_C-y_Q|，
△BCQ的面积为：(1)/(2)BL•|y_C-y_Q|，
若两个三角形的面积相等，
那么AL=BL，
即L是线段AB的中点，即L（-2，0）；
易知直线CL的解析式为：y=x+2，联立抛物线的解析式得：
√(y＝−(2)/(5)x2−(8)/(5)x+2y＝x+2作业帮用户2016-12-02问题解析（1）根据直线AC的解析式可求得A、C的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．（2）此题应分作两种情况考虑：①当Q点在AC段的抛物线图象上时，由于△BCQ、△ACQ等底，若它们的面积相等，那么它们的CQ边上的高必相等，即CQ∥AB，根据抛物线的对称轴和点C的坐标即可得到点Q的坐标；②当Q在AC段以为的抛物线图象上时，设直线CQ与x轴的交点为R，那么△ACQ、△BCQ的面积分别可表示为：(1)/(2)AR•|yC-yQ|和(1)/(2)BR•|yC-yQ|，因此两个三角形可看作是等高的三角形，因此“底边”AR=BR，即R是AB的中点，易得R的坐标，可求出直线CR的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点Q的坐标．（3）过点D作∠NDR=∠PDE，交y轴于R，那么∠RDC=∠NDM=∠ACO；由于P是△AOC外接圆⊙S上ACO的中点，根据垂径定理可知，SR所在直线必平行于y轴，那么∠PSC=∠ACO=∠RDC，易证得∠SPC=∠DCR，那么△SPC∽△DCR，由于△PSC是等腰三角形，那么△DCR也是等腰三角形，即CD=DR，易证得∠CMD=∠RND，则可证得△DCM≌△DRN，可得CM=RN，即CN-CM=CR=2OC，由此得解．名师点评本题考点：二次函数综合题．考点点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点坐标的求法、全等三角形的判定和性质等重要知识点；（2）题中，由于点Q的位置不确定，所以一定要将问题考虑全面，不要漏解；（3）题中，能够正确的构建出全等三角形是解决问题的关键，此题涉及的知识点较多，难度很大．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)