如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．

Question

如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．

（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=12，试求BF的长．

Answer 1

（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=DM，
在△DMF和△EBF中，

∠DMF=∠E

DF=EF

∠DFM=∠EFB

，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM=BE，
∴CD=BE；

（2）∵CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，
∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，
∴BE=BF，DM=FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF=BF，
∴CM=MF=BF，
又∵AB=BC=12，
∴CM=MF=BF=4．