已知关于x的方程4x2-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值．

Question

已知关于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值．

Answer 1

解法一：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=(π)/(2)
∴cosα=sinβ---（2分）
∵方程4x²-2（m+1）x+m=0中，△=4（m+1）²-4•4m=4（m-1）²≥0
∴当m∈R，方程恒有两实根．
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=(m+1)/(2)，cosα•cosβ=sinβcosβ=(m)/(4)------（6分）
∴由以上两式及sin²β+cos²β=1，得1+2•(m)/(4)=（(m+1)/(2)）²解得m=±√(3)------（8分）
当m=√(3)时，cosα+cosβ=(√(3)+1)/(2)＞0，cosα•cosβ=(√(3))/(4)＞0，满足题意，
当m=-√(3)时，cosα+cosβ=(1−√(3))/(2)＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去．
综上，m=√(3)------（10分）
解法二：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=(π)/(2)
∴cosα=sinβ---（2分）
方程4x²-2（m+1）x+m=0的两根为x＝(1)/(2)或x＝(m)/(2)----------（6分）
所以cosα=(1)/(2)，所以α=60⁰且β=30⁰----------（8分）
cosβ=cos30°=(m)/(2)，所以m=√(3)----------（10分）．