在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x，|x-y|），则称点Q为点P的“关联点”．（1）请直接写出点（2，2）的“关联点”的坐标；（2）如果点P在函数y=x-1的图象上，其“

Question

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x，|x-y|），则称点Q为点P的“关联点”．
（1）请直接写出点（2，2）的“关联点”的坐标；
（2）如果点P在函数y=x-1的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；
（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=x²的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．

Answer 1

（1）∵|2-2|=0，
∴点（2，2）的“关联点”的坐标为（2，0）．
（2）∵点P在函数y=x-1的图象上，
∴P（x，x-1），则点Q的坐标为（x，1），
∵点Q与点P重合，
∴x-1=1，解得：x=2，
∴点P的坐标为（2，1）．
（3）∵点M（m，n），
∴点N（m，|m-n|）．
∵点N在函数y=x²的图象上，
∴|m-n|=m²．
（i）当m≥n时，m-n=m²，
∴n=-m²+m，
∴M（m，-m²+m），N（m，m²）．
∵0≤m≤2，
∴MN=|y_M-y_N|=|-m²+m-m²|=m|2m-1|．
①当0≤m≤(1)/(2)时，MN=-2m²+m=-2(x-(1)/(4))2+(1)/(8)，
∴当m=(1)/(4)时，MN取最大值，最大值为(1)/(8)．
②当(1)/(2)<m≤2时，MN=2m²-m=2(x-(1)/(4))2+(1)/(8)，
当m=2时，MN取最大值，最大值为6．
（ii）当m<n时，n-m=m²，
∴n=m²+m，
∴M（m，m²+m），N（m，m²）．
∵0≤m≤2，
∴MN=|y_M-y_N|=|m²+m-m²|=m，
当m=2时，MN取最大值2．