已知x=二分之一乘以(5的n分之一次方-5的负n分之一次方),n∈N+,求(x+根号下1+x²)的n次方.的值.

Question

已知x=二分之一乘以(5的n分之一次方-5的负n分之一次方),n∈N+,求(x+根号下1+x²)的n次方.的值.

Answer 1

x=(1/2)[5^(1/n)-5^(-1/n)]
1+x²=1+(1/4)[5^(2/n)-2+5^(-2/n)]
=(1/4)[5^(2/n)+2+5(-2/n)]
=(1/4)[5^(1/n)+5^(-1/n)]²
所以√(1+x²)=(1/2)[5^(1/n)+5^(-1/n)]
故（x+根号1+x的平方)^n
=[5^(1/n)]^n
=5