如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列（1）若a2，b2，c2成等差数列，证明b+c，c+a，a+b成调和数列；（2）设Sn是调和数列{1n}的前n项和，证

Question

如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列
（1）若a ² ，b ² ，c ² 成等差数列，证明b+c，c+a，a+b成调和数列；
（2）设S _n 是调和数列 {(1)/(n) } 的前n项和，证明对于任意给定的实数N，总可以找到一个正整数m，使得当n＞m时，S _n ＞N．

Answer 1

证明：（1）欲证b+c，c+a，a+b成调和数列，
只须证 (2)/(c+a) =(1)/(b+c) +(1)/(a+b)
只须证2（b+c）（a+b）=（c+a）（a+b）+（c+a）（b+c）
化简后，只须证2b ² =a ² +c ²
因为a ² ，b ² ，c ² 成等差数列，所以2b ² =a ² +c ² 成立
所以b+c，c+a，a+b成调和数列
（2） S n =1+(1)/(2) +(1)/(3) +…+(1)/(n)

∴ S 2 k =1+(1)/(2) +(1)/(3) +…+(1)/(2k)

  ＞1+(1)/(2) +((1)/(4) +(1)/(4) )+((1)/(8) +(1)/(8) +(1)/(8) +(1)/(8) )

  +…+((1)/(2k) +(1)/(2k) + …+(1)/(2k) )

 = 1+(1)/(2) +(1)/(2) +…+(1)/(2) =1+(k)/(2)

对于任一给定的N，欲使S _n ＞N，
只须 1+(k)/(2) ＞N ，
即k＞2（N-1），
取m=[2 ^2（N-1） ]+1（其中[2 ^2（N-1） ]表示2 ^2（N-1） 的整数部分），
则当n＞m时，S _n ＞N．
（本题解法和答案不唯一）