三角函数题目求解若三角形ABC的内角A,B满足sinB/sinA=2cos(A+B),则tanB的最大值为求详解和答案答案是根号3/3

Question

三角函数题目求解
若三角形ABC的内角A,B满足sinB/sinA=2cos(A+B),则tanB的最大值为 求详解和答案
答案是根号3/3

Answer 1

分析：由A和B为三角形的内角,得到sinA和sinB都大于0,进而确定出C为钝角,利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边,得到sinB=-2sinAcosC,再由sinB=sin（A+C）,利用两角和与差的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系化简,得到tanC=-3tanA,将tanB利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为-tan（A+C）,利用两角和与差的正切函数公式化简,将tanC=-3tanA代入,变形后利用基本不等式求出tanB的范围,即可得到tanB的最大值．
∵sinA＞0,sinB＞0,
∴sinB / sinA =2cos（A+B）=-2cosC＞0,即cosC＜0,
∴C为钝角,sinB=-2sinAcosC,
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC,即cosAsinC=-3sinAcosC,
∴tanC=-3tanA,
∴tanB=-tan（A+C）=-(tanA+tanC/1-tanAtanC) =-(-2tanA /1+3tan2A) =2 / (1 / tanA+3tanA) ≤
2 / 2根号3 =（根号3 ）/3 ,
当且仅当
1/tanA=3tanA,即tanA=(根号3)/3 时取等号,
则tanB的最大值为(根号3)/3．