已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（√7,0）,直线Y＝X－1与其相交于...已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（√7,0）,直线Y＝X－1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为－2／3,求此双曲线的

Question

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（√7,0）,直线Y＝X－1与其相交于...
已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（√7,0）,直线Y＝X－1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为－2／3,求此双曲线的方程

Answer 1

∵双曲线中心在原点且一个焦点为F（√7,0）
∴b^2=7-a^2 [对于双曲线 a^2+b^2=c^2=7]
从而双曲线的方程为 x^2/a^2-y^2/(7-a^2)=1 ①
又 y=x-1　②
将②代入① x^2/a^2-(x-1)^2/(7-a^2)=1
化简得(7-2a^2)x^2+2a^2x-a^2-a^2(7-a^2)=0
根据韦达定理得 x1+x2=-2a^2/(7-2a^2)
∵中点的横坐标为－2／3
∴-a^2/(7-a^2)=-2/3
从而 a^2=14/5
b^2=7-a^2=7-14/5=21/5
∴此双曲线的方程是 5x^2/14-5y^2/21=1