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已知函数f(x)=axlnx+b(a,b∈R)的图象过点(1,0)且在此点处的切线斜率为1.(1)求函数f(x)的单调减区间;(2)若g(x)=12x2-mx+32,存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)≥g(x0)成立,求实
题目详情
已知函数f(x)=axlnx+b(a,b∈R)的图象过点(1,0)且在此点处的切线斜率为1.
(1)求函数f(x)的单调减区间;
(2)若g(x)=
x2-mx+
,存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数m的取值范围.
(1)求函数f(x)的单调减区间;
(2)若g(x)=
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▼优质解答
答案和解析
(1)由已知可得f(1)=0,f′(1)=1,得b=0,a=1.f(x)=xlnx,f′(x)=1+lnx(x>0)
由f′(x)<0得,0<x<
,所以函数f(x)的单调减区间为(0,
).
(2)存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)≥g(x0)成立,即f(x)≥g(x)在(0,+∞)上解集不空.
⇔xlnx≥
x2-mx+
解集不空⇔存在x使得m≥
x+
-lnx成立
⇔m≥(
x+
-lnx)min,
设h(x)=
x+
-lnx(x>0),h′(x)=
−
−
=
当0<x<3时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当x>3时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)最小值h(3)=2-ln3,∴实数m的取值范围m≥2-ln3.
由f′(x)<0得,0<x<
1 |
e |
1 |
e |
(2)存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)≥g(x0)成立,即f(x)≥g(x)在(0,+∞)上解集不空.
⇔xlnx≥
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2x |
⇔m≥(
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2x |
设h(x)=
1 |
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3 |
2x |
1 |
2 |
3 |
2x2 |
1 |
x |
(x+1)(x−3) |
2x3 |
当0<x<3时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当x>3时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)最小值h(3)=2-ln3,∴实数m的取值范围m≥2-ln3.
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