已知函数f（x）=axlnx+b（a，b∈R）的图象过点（1，0）且在此点处的切线斜率为1．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）若g（x）=12x2-mx+32，存在x0∈（0，+∞）使得f（x0）≥g（x0）成立，求实

Question

已知函数f（x）=axlnx+b（a，b∈R）的图象过点（1，0）且在此点处的切线斜率为1．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若g（x）=(1)/(2)x²-mx+(3)/(2)，存在x₀∈（0，+∞）使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由已知可得f（1）=0，f′（1）=1，得b=0，a=1．f（x）=xlnx，f′（x）=1+lnx（x＞0）
由f′（x）＜0得，0＜x＜(1)/(e)，所以函数f（x）的单调减区间为（0，(1)/(e)）．
（2）存在x₀∈（0，+∞）使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即f（x）≥g（x）在（0，+∞）上解集不空．
⇔xlnx≥(1)/(2)x²-mx+(3)/(2)解集不空⇔存在x使得m≥(1)/(2)x+(3)/(2x)-lnx成立
⇔m≥（(1)/(2)x+(3)/(2x)-lnx）min，
设h（x）=(1)/(2)x+(3)/(2x)-lnx（x＞0），h′（x）=(1)/(2)−(3)/(2x2)−(1)/(x)=((x+1)(x−3))/(2x3)
当0＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞3时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）最小值h（3）=2-ln3，∴实数m的取值范围m≥2-ln3．