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某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图所示).已知PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土最省工.
题目详情
某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图所示).已知PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土最省工.
▼优质解答
答案和解析
以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy,设M(x,y)是沿AP、BP运土同样远的点,则
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,
∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
在△PAB中,由余弦定理得
|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos60°=17500,且50<|AB|.
由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上,设此双曲线方程为
-
=1(a>0,b>0).
∵2a=50,4c2=17500,c2=a2+b2,
解之得a2=625,b2=3750.
∴M点轨迹是
-
=1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧.
于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,
∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
在△PAB中,由余弦定理得
|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos60°=17500,且50<|AB|.
由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上,设此双曲线方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵2a=50,4c2=17500,c2=a2+b2,
解之得a2=625,b2=3750.
∴M点轨迹是
x2 |
625 |
y2 |
3750 |
于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.
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