泰勒公式不带余项可求某一点处的函数值,带了余项就与原函数定义域内处处相等,

Question

泰勒公式不带余项可求某一点处的函数值,带了余项就与原函数定义域内处处相等,

Answer 1

基本没错,带余项的泰勒公式与原函数相等,但是由于我们缺乏对余项的进一步了解,由此这种带余项的泰勒公式理论意义很强（因为和原函数相等）,但应用（求函数某点的近似函数值）不多.而不带余项的泰勒公式,没什么理论意义,但可以做近似计算,注意近似程度不止取决于泰勒公式展开的阶数,还取决于是在哪一点处展开的,例如如果求f(1.1),那么通常情况下,把f(x)在x=1处和x=0处展开相同阶数,x=1处的泰勒公式求出更精确,这可以用带拉格朗日余项的泰勒公式来解释,由于余项的表达式中含有(x-a)^(n+1),为了使它很小就要让x和a很接近.另外泰勒公式无论带不带余项,其展开式中都只包含有限项,含有无穷多项的就不是泰勒公式了,而是无穷级数（幂级数）,它也是精确成立的.可见不带有余项的泰勒公式,如果想让它精确成立,有两种途径,第一是加上余项,但我们对余项中的中值缺乏了解,第二是展开无穷多项,但要涉及极限运算.